держащих частотно-зависимые управляемые генераторы и достаточно большое число контуров, для преодоления указанной трудности был применен простой метод, основанный на использовании свойства нелинейности машинной ошибки.

Этот метод состоит в следующем. Пусть на основании решения системы уравнений (4.7) получена убывающая последовательность коэффициентов По, щ, щ, .. ., ан, в которой ai-0 при i-k. Здесь nkN. Умножим правую часть каждого уравнения на произвольный масштабный множитель М и найдем соответствующую новой системе уравнений последовательность коэффициентов а'о, а'\, а'2, -, а'и а'к- Тогда для всех ненулевых решений должно выполняться соотношение

а'г==Маг.

(4.9)

Коэффициенты, для которых (4.9) не выполняется, должны быть приравнены к нулю. Таким образом, старшим членом характеристического многочлена является тот, степень которого удовлетворяет (4.9). Корни найденного характеристического уравнения определяются на ЭВМ с помощью алгоритма, приведенного в [4.41] с учетом внесенных в него изменений [4.42].

Таким образом, методика сводится к составлению главного определителя цепи, устойчивость которой анализируется, вычислению старшей степени и коэффициентов характеристического многочлена и вычислению корней характеристического уравнения, представленного этим многочленом. Программа, реализующая рассмотренный метод, обеспечивает вычисление коэффициентов и корней характеристических уравнений до 18-го порядка включительно. При этом время трансляции программы в машину БЭСМ-4 и время вычисления не превышает

5 и 2 мин соответственно.

Частотные критерии. Эти критерии позволяют судить

06 условиях устойчивости без определения положения корней на плоскости комплексной частоты. Ограничиваясь изучением поведения характеристического многочлена п-й степени

L(p)=ao(p-pi) (р-р2) ... (р-рп)

(4.10)

на частотах, находящихся на оси j(o плоскости р, можно выявить закономерности изменения аргумента (годографа) функции L{ja) и по этим закономерностям судить

О существовании корней в правой полуплоскости комплексной частоты *.

Поскольку годограф каждого вещественного корня или пары комплексно-сопряженных корней при изменении частоты от О до оо в правой полуплоскости поворачивается на -я/2, а в левой на я/2, изменение годографа функции L{](o), имеющей п корней, из которых k с положительными вещественными составляющими,

SJgL(p) =( - k)-k = -2)--. (4.11)

На основании фундаментального условия (4.5) условие устойчивости примет вид

8 arg L(p)= ля/2. (4.12)

Критерий в таком виде впервые был сформулирован А. В. Михайловым [3.4]. При применении этого критерия к функции

У(р)Цр)1М{р) (4.13)

необходимо и достаточно, чтобы функция L{p) в (4.13) удовлетворяла общему условию (4.12). Для этого должно быть выполнено условие

5 arg V (jo)) = 6 arg L (jm) -- S

0<ш<оО 0<ш<оо

-( .-2r)=(m-f2r)-f.

arg МЦш) = п^-

(4.14)

где /n=n-ni - разность степеней L{p) и М{р); г - число нулей М{р) в правой полуплоскости.

Критерий Найквиста получается при применении (4.14) к возвратной разности £(j(o)-рациональной функции, не имеющей полюсов в правой полуплоскости, числителем которой является характеристический многочлен, а знаменателем многочлен той же степени, что и числитель (т. е. т^, г=0):

6 arg F(j )) = 0. (4.15)

0<ш<оо

*) Из теории функций комплексного переменного известно, что в этом случае речь идет об отображении правой полуплоскости, проходимой вдоль оси jo) и по дуге бесконечного радиуса, функцией L(p) в плоскость отображаемой функции Re L(p), Im L(p). Обозначение L (/(o) подчеркивает, что годограф является отображением мнимой оси плоскости р.

Согласно этому критерию годограф возвратной разносТй f (joj) не должен охватывать начало координат плоскости F{p) при изменении частоты от О до оо.

Физическую интерпретацию критерия Найквиста легче всего дать на примере реальной однонаправленной системы с одной петлей обратной связи, показав его связь с другим физическим принципом - баланса амплитуды и фаз. Известно, что генерация в такой системе возникает тогда, когда усиленный сигнал появится па входе

1т F(\u)

Ci/cmem

Ref(ju)j

Системе устойтве(

Рис. 4 2

(вследствие существования обратной связи) в той же фазе, что и входной сигнал, а его амплитуда превысит амплитуду последнего. Усиление в такой системе

Ко (Р)

-К,(Р)Пр) ~ F(p)

(4.16)

где Ко{р), Р(р), F(p) - коэффициенты передачи в прямом и обратном направлениях при разомкнутой петле обратной связи и возвратная разность.

Поскольку в реальной системе коэффициент усиления всегда равен нулю на нулевой и бесконечной частотах из-за наличия в ней реактивных элементов, изменение аргумента годографа -F(j(o) равно нулю, если амплитуда о(р)Р(р) ни на одной из частот не превыщает единицу. И, наоборот, для самовозбуждения системы (/((р)-оо) о(р)Р(р) должно превысить единицу при изменении частоты от О до оо. При этом изменение аргумента соста вит 2я (рис. 4.2).

Эти же представления могут быть распространены на более сложные системы с одной петлей обратной связи и на системы с многопетлевой обратной связью [3,4]. Для анализа последних используется критерий Найквиста-Боде.

Для устойчивости многопетлевой системы, коэффициенты передачи которой являются устойчивыми функциями, согласно этому критерию необходимо, чтобы сумма приращения аргументов (б arg) всех возвратных разностей Fi-DijDi-\ была равна нулю при изменении частоты от нуля до бесконечности:

2S arg F=b arg F=0,

~ 0<ш<оо 0<ш<оо

(4.17)

где F = F,F,

F .

Здесь Д, A-i - определители системы контурных токов или узловых напряжений, в которой возвращены к нормальному состоянию соответственно i и i-1 петель обратной связи, а петли с более высокими индексами разомкнуты [3.4]. Вычисление возвратных разностей в классических терминах токов и напряжений на СВЧ не оправдано. В СВЧ диапазоне наиболее соответствует экспериментальным возможностям методика, сводящаяся к применению в критерии Найквиста - Боде возвратных разностей ориентированных графов A,=l-т', [4.14]

2S arg Д. = 5 arg Д„ = 0,

О<ш<00

(4.18)

где Ajv=AiA2 ... An; Аг1-т'г, tj - коэффициент передачи узла, т. е. коэффициент передачи пары исток - сток, образованной в результате расщепления этого узла. Можно показать [4.14], что возвратные разности графа 1-т'г, определенные таким образом, равны соответствующим возвратным разностям fj=Di/Dj i, выраженным через определители цепи Di.

В справедливости (4.18) можно убедиться и непосредственно, анализируя выражение для коэффициента передачи графа T-llpkAhl, все передачи которого устойчивы, а ни один из S-параметров не имеет полюсов в правой полуплоскости [2.5]. Отсюда аналогично (4.5) следует требование отсутствия нулей Д в правой полуплоскости и справедливость (4.18).

т

Таким образом, для устойчивости однонаправленного усилителя со стандартными нагрузками необходима устойчивость стандартных S-параметров при произвольных вещественных нагрузках, т. е. устойчивость S-параметров, измеренных в линии с характеристическими сопротивлениями, равными сопротивлениям этих нагрузок (такой усилитель не имеет контуров, рис. 2.8).

Анализ устойчивости неоднонаправленного усилителя, нагруженного на произвольные нагрузки, в терминах S-параметров может быть выполнен с помощью критерия Найквиста-Боде на основании рассмотрения направленного графа усилителя, изображенного на рис. 2.8. В выражении для коэффициента передачи (2.32) определитель графа (знаменатель этого выражения) представляется для этого в виде произведения двух возвратных разностей A =AiA2. Для устойчивости системы необходимо и достаточно потребовать, чтобы сумма приращений аргументов А„ была равна нулю при изменении частоты от О до оо:

S argA = 0,

0<шоо

где

Al = l-r2S22,

Д

(4.19)

,= i-r.(s..-,-

1221 Га

Гь Г2 - коэффициенты отражения нагрузок.

Равенство нулю приращения аргумента каждой возвратной разности или, что то же, отсутствие охвата начала координат при изменении частоты от О до оо является достаточным условием устойчивости усилителя. В соответствии с этим условием может быть использована методика графического суммирования аргументов ко-эффициентов передачи каждой возвратной разности и рассмотрения модулей коэффициента передачи на частоте, где аргумент кратен 2я. Поскольку выражение, заключенное в скобках в (4.19), представляет собой коэффициент отражения от транзистора Гвх, достаточные условия устойчивости сводятся к требованию отсутствия охвата каждой возвратной разностью начала координат или к требованию

*) Неравенства, симметричные (4.20) имеют вид: ri5 <l; [Гг! Гвых Они получаются в результате представления (2.32) в виде возвратных разностей с измененными индексами (2->-1 1-2).

Г2522<1, Г,Гвх|<1 (4.20)

при ф, кратном 2я. Здесь ф - суммарный набег фазы Гг

и S22 (Г1 и Гвх).

Если, однако, неравенства (4.20) не выполняются, их информативная ценность мала, так как усилитель все же может бьць устойчивым. Применение ЭВМ позволяет оперативно исследовать необходимое и достаточное условие устойчивости (4.19).

Условие (4.19) может быть применено и к анализу многокаскадных усилителей. В этом случае каждый каскад представляется матрицей S-параметров (или соответствующим графом), система исследуется при стандартных нагрузках, а затем, если она оказывается устойчивой, при произвольных. Годограф вычисляется на ЭВМ следующим образом. Значение функции А„ определяется с переменным шагом по ©. Размер шага выбирается в зависимости от характера функции Aw(j(o). При прохождении кривой опасных участков, признаком которых является пересечение осей координат или изменение знака приращения аргумента, т. е. образование петли, шаг автоматически уменьшается. После прохождения опасного участка первоначальный шаг восстанавливается.

Для вычисления годографа необходимо знать частотные зависимости элементов S-матрицы каждого каскада. Эта информация может быть получена либо экспериментально, либо с помощью физической модели прибора. В обоих случаях требования, вытекающие из критерия Найквиста - Боде, должны быть согласованы с моделью и экспериментом. Эти требования более подробно рассмотрены в § 4.4.

Иммитансные критерии. В этой группе критериев об устойчивости цепи можно судить по знаку входных и выходных иммитансов рассматриваемого устройства. Поскольку физическую модель прибора при анализе устойчивости этим методом часто заменяют бесструктурной моделью - активным четырехполюсником, а последний описывают матрицей входных и выходных параметров, следует помнить, что не любая матрица параметров характеризует устойчивость цепи. Устойчивость цепи характеризует лишь такая матрица, размерность собственного иммитанса которой на входе (например, уи) и выходе совпадает с размерностью того бесконечного иммитанса (например, г/г=оо), который должен быть подклю-

Чен к этой стороне четырехполюсника, чтобы сделйть цепь устойчивой [3.4]. Исследование устойчивости двух-и четырехполюсников с помощью этого критерия целесообразно проводить с помощью ЭВМ.

Выбор системы параметров, верно характеризующей устойчивость, особенно актуален на СВЧ. Так, часто встречающееся утверждение, что плоскостной транзистор является безусловно устойчивым при к. з. и х. х. на его клеммах, не является абсолютным. Оно справедливо для кристалла без паразитных элементов или отрезков линий, соединяющих кристалл с корпусом, а корпус с клеммами, доступными для измерения. Осуществление к. з. (или X. X.) на этих клеммах еще не означает к. з. на кристалле. Таким образом, утверждение о сохранении транзистором устойчивости при к. з. на доступных для измерения клеммах означало бы выполнение требования устойчивости плоскостного транзистора при произвольных реактивных нагрузках, что в действительности не имеет места. Вопросы, связанные с корректностью иммитансных критериев, а также с их применением для анализа устойчивости транзисторных усилителей, рассмотрены в § 4.4.

4.3. критерии, применяемые для исследования устойчивости усилителей при варьируемых и произвольных нагрузках. безусловная и потенциальная устойчивость

Как следует из понятия устойчивости, устройство не должно возбуждаться ни на одной частоте (от О до оо), и поэтому устойчивость должна контролироваться в неограниченном частотном диапазоне (для транзисторов от О до штах). Очевидно, что суждение об устойчивости устройства, высказываемое на основании проверки устойчивости на одной частоте или в неполной частотной области, основано на предположении о его устойчивости в неисследованных частотных областях.

Наибольшую информацию дает исследование при произвольных нагрузках. Если в результате такого исследования выясняется, что устройство не возбуждается, то оно является безусловно устойчивым.

Транзисторы, как известно, не являются безусловно устойчивыми приборами, т. е. они теряют устойчивость при произвольных внешних нагрузках в полном частот-92

Ном диапазоне. Однако они допускают произвольное изменение нагрузок в ограниченных диапазонах частот, не теряя при этом устойчивость (см. § 3.3). Здесь мы вновь предполагаем, что в оставшейся части диапазона нагрузки таковы, что система устойчива. Таким образом, для суждения об устойчивости этого класса устройств весь частотный диапазон может быть разбит на области, в которых нагрузки могут быть произвольными, и области, в которых такая произвольность недопустима. За первыми закрепилось в литературе название безусловно устойчивых областей, за вторыми - потенциально устойчивых, хотя эти названия не очень точны и их правильнее было называть областями, где выполняются условия безусловной устойчивости, и областями, где эти условия не выполняются (см. (4.22)). Соответственно устройства, допускающие произвольность нагрузок лишь в ограниченной частотной области можно было бы назвать ограниченно безусловно устойчивыми . Хотя такие устройства относятся к потенциально устойчивым *), определение областей безусловной устойчивости имеет принципиальное значение, поскольку границы этих областей определяют зоны, в которых система может самовозбудиться, и зоны, в которых этой опасности не существует.

В частотных областях, где произвольность нагрузок недопустима, устройство тем не менее может оставаться устойчивым при фиксированных нагрузках либо при нагрузках, варьируемых в некоторых пределах. Существенный интерес в этом случае представляет определение границ допустимого изменения комплексного сопротивления на одних клеммах устройства исходя из условия положительности сопротивления на противоположных клеммах. Необходимо помнить, что и в двух последних случаях суждение об устойчивости предполагает исследование в полном частотном диапазоне.

Классификация различных видов устойчивости представлена на рис. 4.3.

Безусловная устойчивость. Под безусловной устойчивостью понимается устойчивость цепи при произвольных пассивных внешних нагрузках.

*) Или потенциально неустойчивым; термины потенциальная устойчивость , потенциальная неустойчивость , условная устойчивость эквивалентны, так как отражают возможность неустойчивости и лишь условную, потенциальную устойчивость системы.

Если четырехполюсник становится устойчивым при пр-исоединении бесконечных иммитансов к его входу и выходу одновременно, матрица его параметров выбрана так, что размерность собственного иммитанса каждой стороны четырехполюсника совпадает с размерностью этих бесконечных иммитансов, а собственный иммитанс на одной из сторон не имеет отрицательной вещественной составляющей ни при каких частотах, то для безус-

ff mov/te

(при фиксирв-ватой

в off/racmt!

(при фитиро-

oep(/3/fcfx S vac/?7ommu

Оертиуе тя еезрс^7о& ая (при про1/звв/!б -

ff oepani/vennou частоттй

OffMC/?7U и

неплоизбо/гмых Sve ее)

еезрс/гоемая

(рри прос/зеом-м/х тгр!/з/ах в /гомои wc/77B/nnoii opjracmu}

Рис. 4.3

ловной устойчивости необходимо и достаточно, чтобы входной иммитанс на противоположной стороне имел на всех частотах положительную вещественную составляющую. Требование положительности вещественной составляющей не на всех частотах, а лишь на тех, где мнимая часть суммарного иммитанса четырехполюсника и нагрузки обращается в нуль, имеет смысл лишь при анализе устойчивости четырехполюсника с фиксированной, а не с произвольной нагрузкой, т. е. при определении безусловной устойчивости по Найквисту как устойчивости, сохраняемой при уменьшении усиления из-за четырехполюсника, а не из-за нагрузок.

Можно показать [3.4], что при выполнении указанных ограничений условия безусловной устойчивости имеют вид

Ren>0, Re22>0, К>\,

(4.21)

где К - инвариантный коэффициент устойчивости; kn, 22 - собственные иммитансы матрицы активного четырехполюсника.

Теперь становится понятным, почему К является коэффициентом устойчивости. Заметим еще раз, что одно лишь условие К> 1 - условие возможности согласования-является необходимым, но недостаточным условием безусловной устойчивости.

Найдем условия безусловной устойчивости для усилителя, описываемого параметрами матрицы рассеяния. Для этого вначале следует убедиться во внутренней устойчивости транзистора *). Если такая устойчивость имеет место, она может нарушиться лишь в результате внешних переотражений в линиях, подключенных к клеммам транзистора. В этом случае требование положительности входного сопротивления при произвольных нагрузках на выходных клеммах и соответственно выходного при произвольных нагрузках на входных клеммах является гарантией того, что транзистор не возбудится. Анализируя соотношения (2.30) и (2.33). Курокава показал, что условия безусловной устойчивости в терминах S-параметров имеют вид

15.Л,1<1-5 Г, \

\SM<\-\S..\\ ) (4.22)

2[s.A.I<i + fAr-5 Ms..r.

Последнее неравенство (4.22) эквивалентно неравенству К>\. Срав енае двух первых неравенств (4.22) с выражениями (2.42), (2.44) для Bi и показывает, что если эти неравенства удовлетворяются, то всегда Bi>0 и

В2>0, однако обратное утверждение несправедливо, ем не менее Bi>0, В2>0 вместе с условием К>\ также являются необходимыми и достаточными условиями устойчивости [2.3]. Практически при К>\ всегда

Bi>0, В2>0 (подробнее см. § 11.3).

Потенциальная устойчивость. Если условия (4.22) не выполняются, активный четырехполюсник является потенциально неустойчивым, его усиление при соответствующих нагрузках может быть бесконечно большим или же превысить порог генерации. Поэтому при потенциально неустойчивом усилителе его иногда удобно дополнить нагрузками на входе и выходе и применить критерий безусловной устойчивости к полученному (составному) четырехполюснику.

*) Для этого S-параметры е должны иметь по.пюсов в правой полуплоскости.

Условия

Re{ki-{-ku)>0, Ке(А2+Ы>0, Кс\, (4.23)

где

2 [Re (feO +Re (fe )] [Re fe) +Re (fea)] -Re (fe,A.)

- инвариантный коэффициент устойчивости системы*) При выполнении (4.23) дополненный нагрузками ki и 2 активный четырехполюсник безусловно устойчив. Это, в частности, гарантирует устойчивость усилителя при добавлении к искомым иммитансам нагрузок ki и k2 любых дополнительных пассивных нагрузок.

При потенциально неустойчивом четырехполюснике полезно определить область входных (и соответственно выходных) нагрузок, при которых его выходное (входное) сопротивление остается положительным. Определим границы этой области как геометрическое место точек в плоскости выходных нагрузок, при которых действительная часть входной проводимости обращается в нуль. Очевидно, что усилитель будет устойчивым при любых пассивных нагрузках на входе, если Re Увх>0. Определив действительную часть входной проводимости из (2.10), после преобразованной найдем, что неравенству (4.23) соответствует уравнение окружности

(G + Go)+{B + Boy=p\ (4 24)

где

Go=0,5 [Re (А^) / Re у и+Re22]; Bo=0,5[Im (А^) / Re и-Ь Im г/аг]; p-=A/Reii-22; Ay=yiiy2z~yi2-y2i.

Область устойчивой работы усилителя лежит вне указанного круга, если Re /ii>0 и внутри его, если Re /ii<0. Для нахождения аналогичных окружностей в плоскости входных нагрузок в равенстве (4.24) индекс И следует заменить на 22 и наоборот. При проводимостях нагрузок, не попадающих в области неусгой-

*> в [4 30] используется другое определение устойчивости системы - фактор Штерна

2 (g.l -Ь Сг) (g22 + Сч)

Re {У12У21) + I У12У2г I совпадающий с Кс (фактором Роллета) лишь при Кс=Кщ %

коэффициента

чивости круговой диаграммы, усилитель является устойчивым, при произвольных нагрузках на противоположных клеммах, т. е. при проводимостях нагрузок в выходной (входной) плоскости, находящихся в устойчивой области, входная (выходная) пассивная нагрузка может быть произвольной.

Области неустойчивости усилителя, параметры транзистора которого описываются с помощью S-матриц, также заключены внутри или вне окружностей. Найдем центры и радиусы этих окружностей в терминах S-параметров. (Конечный результат, приведенный в [2.3] без доказательства, подтвержден Н А. BavTHHbiM. Вывод приведен далее.)

Если модуль коэффициента отражения от входа (аналогично выхода) четырехполюсника меньше единицы, то его входная (выходная) проводимость при пассивных внешних нагрузках всегда положительна. Из физических соображений очевидно, что значение и знак входной проводимости четырехполюсника не зависят от проводимости генератора. Поэтому для упрощения расчетов при определении условий, при которых [Sli <1, можно пользоваться значением ri=0 в выражении (2.30). При этом SiisrBx-входному коэффициенту отражения, измеренному в линии, согласованной с генератором. Таким образом, в устойчивом усилителе модуль входного коэффициента отражения должен быть меньше единицы:

(1-Ггг5 )5 +Г25 5

<1.

(4.25)

Покажем, что границами устойчивости в плоскости Гг являются окружности, а области устойчивой работы в зависимости от того, где удовлетворяются неравенства (4.21)*), заключены внутри или вне этих окружностей. Для этого расположим (4 25) по степеням

I Г, ! - г,л, - rv,;+ ~р < о.

(4.26)

ГДe Г.2=(S*22-A*Sll) ID; Z)=S222

а r2p=(Rer2)2-l-(Imr2)2, положив

Поско чъку Г2Г*52 4- rVs2=2 (Re Г2 Re г^г+Im Г2 Im r),

*) Аналогично условие 1Гвых<1 позволит найти радиусы и центры окружностей устойчивости на входной плоскости.

7-384 97

=й|-ps2, выражение (4.26) можно представить в виде

(Re Г2-Rer,d)2+(Im Г2-Im rs2)ph2. (4.27)

Выражение (4.27)-уравнение окружности, координаты центра которой и радиус Ps2 равны:

гз2= (S*22-A*S ) / (IS2212-1А12);

р,2= I IS12S211 / (IS2212-1А12) I. (4.28)

В (4.27) знак > соответствует области неустойчивости, лежащей внутри круга. При этом D>0 и при Sii<l rs2l>ps2. Таким образом, при Sii<l область неустойчивости находится внутри круга, если последний

he охватывает начало системы координат диаграммы, щм. этом Z)>0.

На рис. 4.4 показаны окружности устойчивости, нанесенные в плоскости выходной нагрузки для Sii<l. В левой части рисунка окружности устойчивости не охватывают начало координат диаграммы проводимости, и если проводимости попадают в них, то система неустойчива. В правой части отображена обратная ситуация. На всех диаграммах области неустойчивости заштрихованы. Диаграмма на рис. 4.4,а соответствует безусловно устойчивой системе, остальные - потенциально неустойчивым. Диаграммы на рис. 4.4,6, е отличаются тем, что для первых возможно согласование, а для вторых К<\ и режим комплексного согласования не может быть осуществлен.

Построив окружности неустойчивости, можно получить полную информацию об устойчивости данного транзистора. При конструировании усилителя иногда достаточно знать предельные значения модуля коэффициента отражения нагрузок на входе Fi и выходе Гг транзистора, при которых гарантируется его устойчивость при произвольных фазах коэффициента отражения. Рассмотрев области неустойчивости на круговых диаграммах и показав, что jrl-р2й=(1-5ii2)/D, r.i2-p2,i= = (1-S22p)/.D, можно представить предельные значе-

ния рассогласовании грузок в виде*> [4.14

Pil и Г2, а следовательно, и на-

гз-Ьр,4<Гг<г -р„- для Z)>6; rj<p -r,i для D<0,

(4.29)

где i=l, 2 для входной и выходной плоскостей соответственно.

Как видно, запрещенные выражениями (4.29) области нагрузок ограничены окружностями равного коэффициента отражения. Произвольность фазы в этих выражениях достигается ценой расширения запрещенных областей.

Наряду с иммитансными критериями широкий круг вопросов устойчивости усилителей с варьируемыми нагрузками может быть решен с помощью критерия Най-

*) Для S <1, is22ki.

квиста- Боде и его следствий. В соответствии с (4.20) для пассивных нагрузок (при 5и|<1, 522<1)

\Г,\ Гвх|1, Г2 Гвых11. (4.30)

Поскольку Гвых=/(Г1), а Гвх=ЦЩ, любое из двух неравенств (4.30) ограничивает коэффициент отражения генератора при заданной нагрузке, а нагрузки - при заданном генераторе. Одно из этих условий является, таким образом, избыточным, однако методически наличие двух условий удобно. Ограничения, устанавливаемые (4.30), аналогичны ограничениям, вводимым кругами неустойчивости, однако их физический смысл яснее. Круги неустойчивости ограничивают нагрузки значениями, не приводящими к отрицательному входному сопротивлению (соответственно Гвх|<1) на противоположных клеммах, аналогичный смысл имеет и (4.30) при произвольных пассивных нагрузках.

В более удобном для работы с комплексными числами виде пределы IFil и Г2 могут быть выявлены из соотношений [4.38]

1 Г,5 2-Г25222-ЫГ,Г2Д|2>2Г,Г25,252,. (4.31)

Представленные неравенства устанавливают допустимые сочетания коэффициентов отражения входной и выходной нагрузок. Эти данные было бы целесообразно указывать в справочных данных на транзисторы.

4.4. О КОРРЕКТНОСТИ МОДЕЛЕЙ ПРИ АНАЛИЗЕ УСТОЙЧИВОСТИ

Корректность структурных моделей. Успех использования структурных (физических) моделей при исследовании устойчивости определяется тем, насколько точно они отражают поведение реальных устройств. С усложнением реальных приборов и увеличением их частотного диапа.чона трудности, связанные с точностью определения параметров физических моделей, увеличиваются, а достижимая в настоящее время точность измерения этих параметров становится все менее приемлемой. В частности, оставляет желать лучшего точность измерения параметров эквивалентной схемы СВЧ транзисторов. Для некоторых ее параметров известны лишь грубые оценочные значения.

Оптимизационные методы, применяемые к физическим моделям полупроводниковых приборов (см. 100

гл. 1), позволяют установить соответствие между поведением реального устройства и его модели. При использовании оптимизированных моделей для исследования устойчивости необходимо учитывать следующее. Попытка согласования внешних характеристик реального устройства и модели (например, на основе сравнения их S-, Y- или Z-параметров) может привести к согласованию их элементов, а следовательно, и поведения лишь в том случае, если принятая модель корректна, т. е. отражает реальное устройство. В противном случае процесс оптимизации может привести к согласованию лишь внешних характеристик модели и устройства и к искажению внутренней структуры устройства по сравнению со структурой реального устройства, т. е. к постепенному переводу физической модели в нефизическую. В результате полученная оптимизированная модель окажется малопригодной для исследования устойчивости.

Точность описания модели является определяющим фактором успешного исследования устойчивости. Поскольку параметры модели в любом случае измеряются с определенной точностью, проблема совместимости достижимой точности описания модели с допустимой точностью описания устойчивости реального устройства МО-жет быть сведена к исследованию устойчивости модели с учетом неточности измерения ее параметров. Точность измерения параметров модели можно считать достаточной, если параметры модели, характеризующие ее устойчивость при максимальных разбросах остаются внутри или вне области устойчивости. В противном случае она недостаточна для предсказания поведения реального устройства. В первом случае можно говорить о согласовании требуемой и допустимой точности описания модели, во втором - эти точности не согласованы. С другой стороны, сложность модели должна быть согласована с возможностями метода. Так, без использования ЭВМ возможности исследования устойчивости транзисторов ограничены относительно простыми моделями, а привлечение сложных физических моделей не согласуются с возможностями ручных расчетов.

Если физическая модель устройства известна, для исследования устойчивости может быть применен любой из рассмотренных критериев. Необходимо лишь учесть, что корректность физической модели в ряде случаев

определяется критерием устойчивости. Так, если анализ содержит исследование на бесконечных частотах, идеализация реальных устройств с помощью только реактивных элементов некорректна.

Далее будут обсуждаться методы исследования устойчивости с помощью бесструктурных моделей. Во многих случаях привлечение этих моделей позволяет решать задачу значительно оперативнее, чем с помощью физических моделей. Однако корректность бесструктурных моделей всегда должна подтверждаться либо экспериментальным исследованием реального устройства, либо теоретичеким рассмотрением физической модели. Поэтому следует помнить, что при отсутствии настоящего или предыдущего опыта лишь физические модели несут информацию об устойчивости. Поэтому во всех случаях, когда поведение бесструктурных моделей в стандартных режимах не очевидно, анализ должен включать исследование структурных (физических) моделей.

Корректность бесструктурных моделей при иммитанс-ных методах исследования устойчивости. Возможности точного описания реальных устройств с помощью бесструктурных моделей значительно превосходят возможности соответствующих структурных моделей. Это является основной причиной, по которой бесструктурные модели успешно применяются для исследования устойчиво-вости. Недостаток бесструктурных моделей заключается (см. гл. 1) в том, что их параметры, измеренные на одной частоте, не дают информации о поведении устройства в диапазоне частот. Поскольку для исследования устойчивости обычно необходимы сведения о поведении устройства в больпюм частотном диапазоне, возникает необходимость многократных измерений на многих частотах.

Проблема выбора бесструктурных моделей, подходящих для исследования устойчивости, сводится к выбору системы параметров, в терминах которой описывается устройство. Это очень важная проблема, решение которой должно удовлетворять требованиям теории избранного критерия устойчивости и соответствовать возможностям вычислительной и экспериментальной техники. Необходимость согласования бесструктурной модели с теоретическими требованиями критерия обусловлена тем, что не любые параметры бесструктурных моделей характеризуют устойчивость системы. 102

Низкочастотный плоскостной транзистор устойчив при любых бесконечных иммитансах на его клеммах, поэтому любые системы параметров корректны при анализе устойчивости низкочастотных усилителей. С повышением частоты влияние реактивных параметров транзистора возрастает и возможность возбуждения при подключении к нему бесконечных иммитансов становится реальной. Поэтому исследование устойчивости СВЧ транзистора с этими иммитансами представляется актуальным. Проиллюстрируем реальность возбуждения на примере нескольких схем с типичными для СВЧ транзисторов параметрами.

Корректность или некорректность иммитансных критериев будем подтверждать, анализируя положение корней характеристического уравнения на плоскости комплексной частоты. Для этого воспользуемся рассмотренным в § 4.2 методом поиска корней с помощью ЭВМ.

В известной физической модели СВЧ транзистора (рис. 3.2,о) сопротивления Гб, Гэ, Го=1 /go - соответственно сопротивление базы и сопротивление эмиттерного и коллекторного переходов, с„, с„, Са, - емкость корпуса транзистора, пассивная и активная емкости коллектора и емкость эмиттера, /б и 4 - индуктивности выводов базы и эмиттера. Коэффициент передачи по току аппроксимирован полиномиальной зависимостью:

cosmQ - jsinmS а„

-r+JQ

1 + j (1 + тУО. - (тЛ-т^/Ч)

(4.32)

где ff? -фазовый множитель, /и=0,2...0,6 в зависимости от типа транзистора; Q=a)/a) - нормированная частота; - предельная частота усиления по току.

В дальнейшем нагрузка со стороны входа обозначается Г], а со стороны выхода - гг. Сопротивления, емкости и индуктивности нормированы к и 7?г=50 Ом (см. § 3.1). В результате мнимые и действительные значения корней оказываются пронормированными к' ) . Порядок

значений параметров эквивалентной схемы, использованных при расчете устойчивости, характерен для современных СВЧ транзисторов.

Прежде всего рассмотрим устойчивость транзистора, включенного по схеме с ОБ. Характеристический многочлен, соответствующий приведенной на рис. 1.13,6 экви-

-ZJ -/7 -7 ,7 V ff

I----1

..1-.Т

I I

валентной схеме, равен 10 ... 14 в зависимости от подключенных нагрузок. Расположение комплексных корней характеристического уравнения для схемы с ОБ при бесконечных иммитансах на ее клеммах представлена на рис. 4.5. Все остальные корни - действительные, отрицательные не приводятся с целью упрощения рисунка. Анализ корней на этом рисунке показывает, что использо- ванне Z- и Л-параметров для оценки устойчивости рассматриваемого транзистора некорректно. Положение корней характеристического уравнения при коротком замыкании на входе и выходе соответствует устойчивому состоянию цепи, это указывает на корректность у-пара-метров в данном случае.

Траектория одного из корней характеристического уравнения цепи, построенная в зависимости от сопротивления на входе транзистора Гь показана на рис. 4.6. Аналогична траектория комплексно-сопряженного корня; все остальные корни находятся в левой полуплоскости комплексной частоты. При увеличении проводимости gi=\lri вещественная часть суммарной проводимости Re становится положительной, что следует из

перехода корня в левую полуплоскость комплексной частоты и подтверждает корректность использования у-параметров для анализа данной цепи. Траектория корня этой же цепи при Г2=1, изображенная на том же рисунке, показывает, что корректность применения для анализа устойчивости 5-параметров не является априорной для любых отношений сопротивлений нормирования Г1/Г2. Согласно рис. 4.6 при ri/r26 корень перемещается в правую полуплоскость, что означает потерю устойчивости.

При измерениях параметров транзисторов на СВЧ часто бывает трудно полностью исключить влияние внешних цепей- В этом случае измеренные параметры неправильно считать параметрами собственно транзистора, они скорее характеризуют схему в целом: с цепями смещения, блокировочными и разделительными элементами. При описании устойчивости таких неапробиро-ванных схем надо подходить к выбору системы параметров с особенной осторожностью. Так, можно показать, что широко применяемая на СВЧ схема с ОЭ, имеющая инвариантный коэффициент устойчивости К> 1 в широкой области частот, легко возбуждается с индуктивностью в цепи коллектора при бесконечных иммитан-