Общие замечания. В настоящее время в микроэлектронике СВЧ широкое применение получили интегральные схемы. Основу таких схем составляют, как правило, отрезки микрополосковых линий (МПЛ) в виде тонких слоев металла, нанесенных на листы диэлектрика (подложки) с диэлектрической проницаемостью 10 и более. (На практике в МПЛ применяют подложки и с меньшей диэлектрической проницаемостью, например из плавленого кварца (8=3,78)). Наиболее распространены экранированные несимметричные МПЛ (рис. 1.1). МПЛ используются во всем диапазоне СВЧ. По сравнению с полыми волноводами МПЛ обладают рядом недостатков - имеют более высокие погонные потери и сравнительно низкую передаваемую мощность (средняя мощность - десятки ватт, импульсная - единицы киловатт). Кроме того, открытые МПЛ излучают энергию в пространство, из-за чего могут возникать нежелательные электромагнитные связи.

Но МПЛ обладают и важными достоинствами. Они имеют малые габариты и массу, дешевы в изготовлении, технологичны и удобны для массового производства методами интегральной технологии, что позволяет реализовать на пластине из металлизированного с одной стороны диэлектрика целые узлы и функциональные модули в микрополосковом исполнении.

До последнего времени анализ и расчет параметров МПЛ проводились в квазистатическом приближении, т. е. в предположении, что в МПЛ распространяется лишь Т-волна. Такое приближение позволяет получить удовлетворительные результаты только в наиболее длинноволновой части диапазона СВЧ, когда длина волны значительно превышает поперечные размеры линии. С повышением частоты, по мере продвижения в область сантиметровых волн и освоения миллиметровых волн, квазистатический метод дает все большую погрешность. Это связано с тем, что не учитываются дисперсионность линии (зависимость параметров от частоты) и наличие в ней волн высших типов. По-

этому для строгого анализа и расчета параметров МПЛ, удовлетворяющих потребностям практики, необходимо использовать электродинамический подход и математические модели, адекватно отражающие физические процессы в реальной МПЛ.

Элементарная ячейка. Постановка задачи. Микрополосковую линию, как и любую планарную структуру, можно представить

Рис. 1.1. Поперечное сечение экранированной несимметричной МПЛ

Рис. 1.2. Поперечное сечение элементарной ячейки пла-нарной структуры

в виде сочетания элементарных (или ключевых) ячеек (рис. 1.2). Легко видеть, что реальная линия (см. рис. 1.1) может быть составлена из двух элементарных ячеек. Объединение ячеек в данном случае эквивалентно размещению в плоскости х=0 электрической или магнитной стенки в зависимости от того, волна какого типа нас интересует. Таким образом, накладывая на границах элементарной ячейки те или иные граничные условия, можно получать модели различных полосковых структур с определенными типами волн.

Будем считать, что полосковый проводник обладает идеальной проводимостью, а толщина его равна нулю. Абсолютные проницаемости сред, между которыми он размещен, равны eat, \i-ai и 8а2, Ца2 соотвбтственно. Ззкон изменения составляющих электромагнитных полей собственных волн от времени / и продольной координаты Z предполагается в форме ехр [j (ш/-pz)], где р -подлежащая определению фазовая постоянная собственной волны МПЛ; (О - круговая частота; j -мнимая единица.

Решение задачи сводится к интегрированию уравнения Гельм-гольца для каждой из частичных областей, входящих в рассматриваемую ячейку:

ArU+kljUO, (1.1)

где и=Ег или Hz - продольные составляющие напряженности электрического или магнитного поля; Ат - поперечный оператор Лапласа; k%f=koei[ii-p (/=1, 2,...); к^о=(лЧо1ю; го, Хо -проницаемости вакуума (8о=8,85-Ю- Ф/м; цо==4я-10- Гн/м); 8/, ц/ - относительные проницаемости сред.

Поля собственных волн должны удовлетворять граничным условиям: касательная составляющая О на электрических

стенках; касательная составляющая =0 на магнитных стенках; условиям непрерывности касательных составляющих на границах раздела сред; условиям Мейкснера на ребрах полоскового проводника.

Условия иа концах отрезка. Ребро полоскового проводника представляет собой геометрическую сингулярность. Электромагнитное поле имеет здесь особенность. Вычислительные алгоритмы, учитывающие эту особенность, обладают высокой эффективностью и быстрой сходимостью. Учет особенностей обеспечивается путем использования специальных базисов для представления полей или токов на границах областей, имеющих точки геометрической сингулярности. Эти базисы представляют собой полные системы функций, каждая из которых удовлетворяет двум условиям:

1) условию Мейкснера на том конце отрезка проводника, где электромагнитное поле имеет особенность;

2) требуемому граничному условию на другом его конце, где нет особенности.

Условия Мейкснера в точке геометрической сингулярности (точка О на рис. 1.3) заключаются в том, что каждая функция фп (х) системы функций {ф„} при д;->-0 должна иметь определенный порядок роста или убывания. При учете только верхней границы порядка сингулярности поля вблизи ребра условия Мейкснера имеют вид

Рнс. 1.3. К условиям Мейкснера на ребре

<р(.х)=0(л о) при

(1.2)

где ао=то-1 для Ех и Нх, ао=то для Ег й Н^; то - наименьший положительный корень характеристического уравнения, методы составления и решения которого рассмотрены в статье Г. И. Веселова, Н. И. Платонова, Е. С. Слесарева (Радиотехника. Т. 35. 1980. № 4). При учете других положительных корней характеристического уравнения алгоритм сходится быстрее.

В нашем случае (см. рис. 1.2) особенность представляет ребро бесконечно тонкого проводника, лежащего в плоскости раздела двух сред (01=02=0 на рис. 1.3). При этом для х==0 Тп=/а + л, где л=0, 1, 2,...

На втором конце отрезка [О, 1] в точке х=1 граничные условия для разных составляющих полей будут различными. Так, в базисе {Wn}, используемом для разложения Ег, каждая функция в точке х= 1 должна быть равна нулю. При выборе базиса {фп} для разложения Ех в точке х=1 необходимо обеспечить равенство нулю первых производных функций. Таким образом, для улучшения сходимости алгоритма и повышения его устой-

чивости на базисы {Wn} и {ф„} накладывают условие их согласованности, вытекающее из соотношения между Ег и Ех:

<f (x)=A64r (x)/6x. (1.3)

Примером таких базисов, обеспечивающих достаточно хорошую сходимость и устойчивость алгоритма, являются полиномы Чебышева первого и второго рода:

(x)=-y=LT, (u), W (x)=VlUn+i(.u), (1.4)

где и=1-х; Тгп^и)-полином Чебышева первого рода порядка 2п; f72n+i( )- полином Чебышева второго рода порядка 2п+1.

Дисперсионное уравнение экранированной МП Л. При решении задачи воспользуемся методом частичных областей. В соответствии с этим методом разобьем элементарную ячейку (см. рис. 1.2) на две области: 1) 0<y<yi; 0<д;<с/2; 2) У1<у^у2; О^х^а/2. Полосковый проводник нулевой толщины расположен на границе раздела областей.

Продольные составляющие полей собственных типов волн в областях 1 и 2 будем отыскивать в виде рядов, почленно удовлетворяющих уравнению (1.1) и граничным условиям на поверхностях, ограничивающих ячейку:

т

H,i==BiXh{x)Yhj {y),

(1.5)

где Aim, B/m - неизвестные коэффициенты; /=1, 2 -номер частичной области. В общем случае эти области могут быть многослойными. От числа слоев в каждой области и их параметров зависит вид функций Хе (д:), Xhm(x), ¥е,т{у), Yh]m{y). В простейшем случае однослойных областей

cos sin

где кхт-тя/а; ky,m=k%]-kxm; bi=0; biy; k%iweaiHa]-

В выражениях для Хвт и Xhm нижние строки берутся в случае расположения в плоскости д;=0 электрической стенки, а верхние - в случае магнитной стенки. Если в плоскости х=а/2 находится электрическая стенка, то т берется четным, а если магнитная - нечетным. Аналогично, в выражениях для Ye/m и Yhjm нижние строки берутся в случае расположения в плоско-

стях у=0 и у=У2 электрических стенок, а верхние - в случае магнитных стенок.

Поперечные составляющие полей легко определяются через продольные с помощью уравнений:

дх dE,j

дх дЕг!

dH,j , дЕг/

(1.7)

Границу раздела между областями 1 и 2 будем рассматривать как вырожденную частичную область iy==yi; присвоив ей номер 0. Часть этой области, свободную от полос-кового проводника, будем называть окном связи {у=уи ay/2

Существует несколько вариантов .решения поставленной задачи.

1. Используется разложение касательных составляющих полей на окне связи по указанным базисам. Граничные условия в плоскости y=yi в этом случае имеют вид:

О при О < л: < да/2, при ву/2<А-<а/2;

Н^=И^=Н^ при ву/2<А:<а/2;

О при 0<А:<да/2, £ 0 при w/2xa/2;

xix2=xo при да/2 < л; <а/2.

(1.8) (1.9) (1.10)

(1.11)

2. Применяется разложение продольного и поперечного токов проводимости на полосковом проводнике по аналогичным базисам. Система граничных условий в плоскости y=yi при этом может быть записана в виде

/Гг2 при -20/2 < л: < а/2, О при 0<.х<да/2;

T)jr при О < л: < да/2,

(1.12)

0 при да/2 < л: < с/2;

Е == (2 при да/2 < л: < а/2, (о при О < л: < да/2;

riz при О < л: < да/2, О при W/2х^а12.

(1.12)

где г]х и T]z - плотность поперечного и продольного поверхностного токов проводимости.

3. в ряде случаев используют комбинацию вариантов 1 и 2.

Рассмотрим подробнее вариант 1 решения задачи. Представим касательные составляющие полей на окне связи в виде рядов, почленно удовлетворяющих требуемым граничным условиям на концах интервала (ш/2, а/2):

ЕхО М = 2 Сп<ееп (Х), Его W = 2 еп М.

(1.13)

где Сп, D , Fk, С к - неизвестные амплитудные коэффициенты; {феп}, {еп}, {фл*}, {Ч'л*} - полные системы функций, учитывающие свойства искомых полей на интервале w/2xa/2.

Подставляя выражения для полей (1.6), (1.7) и (1.13) в граничные условия (1.8)--(1.11) и используя свойство ортогональности собственных функций областей / и 2 на интервале 0д:а/2, а также свойство ортогональности полиномов Чебышева на окне связи, легко получить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно амплитудных коэффициентов в представлении полей:

Атеш (.yi) = Л2пУе2т Ш>

Ai yei (yi)= 2 ппС'п:

[Аш-1Уе\ (yi) - Bihmyhim Ш акт =

(1.И) 11

где

wft all

41/2

tei/2

tei/2

=

a/2

flftm == -T5- I Wft W Ш (X) Xem (X) dx;

J/2 a/2

(1.15)

где W(x) - весовые функции соответствующих базисов.

Исключая из системы (1.14) коэффициенты А/т и В/т, получим СЛАУ относительно коэффициентов разложения касательных составляющих электрического поля на окне связи:

2 скпсп + S лл5 =0;

п-О п-0

(1.16)

гдеА= ,2, 3, C =jC ;

т j~l

(-1) >fejm (yi) .

0 !S

(1.17)

Чтобы однородная бесконечная СЛАУ (1.16) имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы ее определитель равнялся нулю. Отсюда получаем трансцендентное дисперсионное уравнение относительно фазовых постоянных собственных типов волн:

= 0.

(1.18)

Решение уравнения (1.18) осуществляется на ЭВМ методом редукции, т. е. путем замены бесконечного определителя определителем конечного порядка. Иными словами, в блочной матрице (1.18) берется конечное число элементов: л=0, 1, 2,...,N; k=0, 1, 2,...,К. Это означает, что в разложениях (1.13) берется конечное число членов. Чтобы редуцированная СЛАУ, полученная из бесконечной СЛАУ (1.16), была совместной, необходимо взять k=N.

Аналогично составляются СЛАУ и дисперсионные уравнения и при других способах решения поставленной задачи.

Составляющие полей в МПЛ. Для получения искомых выражений применяется следующий подход. Сначала с требуемой точностью решается уравнение (1.18) и находится постоянная распространения р требуемого типа волны. Найденное значение Р подставляется в систему (1.16) и определяются коэффициенты С„ и 1> с точностью до произвольного постоянного множителя А. Затем коэффициенты Ajm и В,т системы (1.14) выражаются через известные коэффициенты С„ и D и подставляются в разложения (1.5). В результате получаются следующие выражения для составляющих полей в экранированной МПЛ:

У)=А^Хе

Eyj(x, y)==-lAXe

yejjniy)

mnj

где Лс =С„; Aflf =D ; у- 2а„ аГ ;

Po=ViVV=120k Om-

волновое сопротивление вакуума; - номер приближения (число членов в редуцированных рядах).

Постоянную А можно определить из условия нормировки собственных функций. Например, можно использовать для этого нормировку к единице среднего потока мощности через поперечное сечение линии:

2ff(f. :/-. )ddy =1.

Выражения для касательных составляющих полей на окне связи можно получить из формул (1.13):

где

(1-21)

Дисперсцонные характеристики МПЛ. Распределение полей и токов, в соответствии с составленным алгоритмом на эвм реализована программа для расчета критических условий, дисперсионных характеристик, распределения составляющих полей и токов в мпл.

Рассмотрим результаты расчетов. На рис. 1.4 приведены зависимости критических частот высших четных типов волн экранированной мпл (эмпл) от ширины полоскового проводника. Будем классифицировать собственные волны мпл по типу волн двухслойного волновода с добавлением квази в обозначении волн, что указывает на близость полей соответствующих типов собственных волн эмпл и двухслойного волновода по структуре. Различие состоит в том, что поле собственной волны двухслойного волновода имеет пять компонентов, а в случае эмпл появляется шестой компонент, причем его доля возрастает по мере увеличения значения отношения ш/а.

Как видно из рис. 1.4, при w/a-*-0 волны экранированной мпл переходят в соответствующие типы волн двухслойного волновода, а при wfa-*-l - в типы волн нижнего (/) или верхнего (2) прямоугольных волноводов (см. рис. 1.1). Резкое уменьшение критических длин квази-LM-волн вблизи значений w/a=l свидетельствует о концентрации

Рис. 1.4. Зависимости критических частот высших четных типов волн экранированной МПЛ от ширины полоскового проводника

ПОЛЯ в зазорах между ребрами полоскового проводника и боковыми стенками. При этом критические частоты квази-LE-волн практически не изменяются. Наличие нескольких вариаций поля вдоль координаты х определяет ступенчатый характер кривых при тф\.

Расчеты показали, что влияние экрана на дисперсионные характеристики МПЛ сильно сказывается лишь при его близком расположении к полосковому проводнику. При значительном удалении экрана от полоскового проводника (с/ш>20; yi/y\>->-20) он практически не влияет на дисперсионные характеристики как основной, так и высших типов волн. Это позволяет моделировать открытые МПЛ, используя алгоритмы, полученные для экранированных структур.

На рис. 1.5 и 1.6 приведены графики распределения плотности токов на проводнике и касательных составляющих электри-

О

ОЛ 0.4 0,6 0,е 2ii:w

Рис. 1.5. Распределение плотности Рнс. 1.6. Распределение касатель-продольного (а) н поперечного ных составляющих электрического (б) токов квази-Т-волны на про- поля на окне связи МПЛ

водиике МПЛ

ческих полей на окне связи. Как и следовало ожидать, требуемую особенность вблизи кромки ребра полоскового проводника имеют составляющие полей fx о и плотности продольного токат].

Интересную информацию о спектре собственных типов волн ЭМПЛ дают дисперсионные характеристики, приведенные на рис. 1.7. Чтобы проследить трансформацию спектра волн при

о в в

s &-

изменении ширины полоскового проводника, на рис. 1.7, а приведены дисперсионные характеристики двухслойного волновода, в который переходит исследуемая МПЛ при w/a-O. Из рисунка видно, что дисперсионные кривые пары волн типов LE и LM с одинаковыми индексами имеют точки касания. Это точки ветвления корней дисперсионного уравнения системы. Координаты их можно найти в явном виде:

2Х

8Л

где ti=yi/y2; /2= (t/2-уО/уг-

Введение полоскового проводника даже малой ширины существенно изменяет набор типов волн двухслойного волновода (рис. 1.7, б). Некоторые дисперсионные характеристики (например, KBasH-Lii и квази-17Изо, квази-1£12 и квази-1,уИз1) начинают сближаться в определенном частотном диапазоне. Затем при дальнейшем увеличении ширины полоскового проводника пары сближающихся дисперсионных характеристик замыкаются сами на себя, образуя разрыв между точками замыкания (штриховые линии на рис. 1.7, в). Б диапазонах частот, соответствующих этим участкам, дисперсионное уравнение для замкнувшихся типов волн не имеет действительных корней, а комплексные корни соответствуют паре комплексно-сопряженных волн.

Дисперсионные характеристики для высших типов волн, приведенные на рис. 1.7, относятся к так называемым экранным волнам. При удалении полоскового проводника эти волны переходят в соответствующие волны двухслойного прямоугольного волновода. Дисперсионные кривые экранных волн слабо зависят от ширины полоскового проводника и мало отличаются от соответствующих характеристик прямоугольного волновода (за исключением участков комплексных волн). Дисперсия этих волн определяется в основном размерами экрана.

Кроме экранных в рассматриваемой структуре могут существовать так называемые подполосочные волны. Поля этих волн концентрируются в основном под полосковым проводником. Эти волны сильно зависят от размера полоскового проводника и исчезают при <-0.

Деление волн на экранные и подполосочные является условным. Волна одного и того же типа при малых w/a может быть экранной, а при больших w/a - подполосочной. Проиллюстрируем это на примере зависимости коэффициентов замедления различных типов волн от ширины полоскового проводника (рис. 1.8). На этих графиках хорошо просматривается образование подпо-лосочных типов волн. При малых значениях w/a кривые идут

вблизи соответствующих прямых для прямоугольного волновода (штриховые прямые). Эти участки кривых соответствуют экранным волнам, существующим в линии. Подполосочные волны при малых w/a существовать не могут - слушком мала область для их концентрации. При ш/а>0,05 кривые резко отходят от соответствующих прямых. Это соответствует началу концентрации волн в подполосочной области. При дальнейшем увеличении wja рост кривых резко замедляется, наступает насыщение. При этом поле волны полностью концентрируется в подполосочной области, т. е. экранная волна полностью преобразовалась в подполосоч-ную.

Преобразование экранных квазиволн LEu, ЕЕц, LMoi, ЬЕги в подполосочные

можно проследить с помощью рис. 1.8. Это преобразование происходит при различной ширине полоскового проводника.

Так, волна LMu остается экранной вплоть до ш/а 0,6, и лишь затем ее поле начинает концентрироваться под проводником.

Другие типы волн (рис. 1.8) преобразуются в подполосочные при значительно более узких проводниках. Так, волна ££21 начинает концентрироваться в подполосочной области уже при а;/с^0,06. Длина волны Л колебания любого типа в МПЛ может быть легко найдена из дисперсионных характеристик (рис. 1.7) по формуле А=К/р. При этом строго учитывается частотная зависимость Л, весьма сильная на высоких частотах.

На низких частотах на практике широко используются формулы для расчета длины волны основной квази-Т-волны, полученные в квазистатичёском приближении:

Рис. 1.8. Зависимости коэффициента замедления различных типов волн МПЛ от ширины по-

>9фф

(1.22)

где /С -коэффициент удлинения волны; еэфф=е С2 -эффективная диэлектрическая проницаемость линии. Значение коэффициента удлинения волны определяется выражением

---ойТ^ при lh>0,,

. 1+0,63( -1)(а /А)2Ч

при wlh<.0,.

(1.23)

Диапазон изменения значений К, приблизительно равный 1,1 1,3, определяется параметрами w/h и е.

Эффективная проницаемость может быть вычислена по формуле

, .= 1+?(.-1)=+(1+)- , (1.24,

где 9=0,55... 0,85-коэффициент заполнения диэлектрика, зависящий от значений б и w/h.

Формулы (1.22) - (1.24) справедливы для открытой линии при нулевой толщине проводника. При конечной толщине проводника в приведенных формулах следует использовать его эффективную ширину:

вфф=гe+Д e=гe + -(lny-f iJ. (1.25)

Значения Л, определяемые по (1.22) - (1.24), совпадают со строгим расчетом Л для квази-Т-волны, проведенным по формуле (1.18) при условии Я- -св и достаточном удалении экрана. Таким образом, результаты, полученные в квазистатическом приближении, являются лишь частным случаем строгого подхода.

Волновое сопротивление МПЛ. Применяют три способа определения волнового сопротивления МПЛ:

через амплитуду напряжения между проводником и экраном под подложкой и передаваемую мощность

Z =fy2/(2P);

(1.26)

через отношение амплитуд напряжения и продольного тока на проводнике

Z=UII; (1.27)

через амплитуду тока и передаваемую мощность

Zo=2P 2. (1.28)

Таким образом, для определения волнового сопротивления линии необходимо при ее заданных геометрических размерах и параметрах сред решить дисперсионное уравнение (1.18) и найти распределение полей и токов в соответствии с формулами (1.19), (1.20), а затем вычислить напряжение, ток и мощность, передаваемую по линии:

и

/= i TldAT,

(1.29)

(1.30)

P=4-Re [E, H*]dS,

(1.31)

где S - площадь поперечного сечения МПЛ; е и Н - поперечные компоненты электрического и магнитного полей соответственно.

И наконец, полученные на основании формул (1.29) - (1.31) результаты следует подставить в выражения (1.26) - (1.28).

Поскольку даже основная волна МПЛ является гибридной, волновые сопротивления, определяемые по формулам (1.26) - (1.28), имеют различные значения. На рис. 1.9 представлены частотные зависимости волнового сопротивления для квази-Т-волны МПЛ на подложке из поликора с различной шириной проводника. С ростом частоты наблюдается все большее расхождение кривых, рассчитанных разными способами. В линии с узким проводником (ау г=0,4) наблюдаются две области (оД 0,12 и 0,88), где все три значения волнового сопротивления совпадают. При о- -О все три значения волнового сопротивления не только совпадают, но и стремятся к волновому сопротивлению Т-волны.

Для практических расчетов часто используют выражение для волнового сопротивления МПЛ (Ом), полученное в квазистатическом приближении:

Рис. 1.9. Частотные зависимости волнового сопротивления МПЛ для ква-зи-Т-волиы

377Л

/£и>[1-Ь 1,735£--°(а./А)-°-8е]

(1.32)

Точность определения Zq по формуле (1.32) составляет 1% при ш/Л^0,4 и 3% при ш/Л<0,4.

Как показали расчеты, значения волновых сопротивлений, рассчитанных по формулам (1.26) - (1.28) при Я-оо, совпадают со значениями, полученными по формуле (1.32). Это еще раз подтверждает тот факт, что квазистатическое приближение является лишь частным случаем строгого решения и имеет ограниченную область применения.

Потери в МПЛ. Важной характеристикой МПЛ является погонное затухание электромагнитной волны в линии. В регулярной МПЛ затухание волны определяется потерями в диэлектри-

ке, металлических проводниках и на излучение. Таким образом, постоянная затухания в линии определяется выражением

а=ад+ам+а„. (1.33)

В случае открытой линии потери в диэлектрике могут быть вычислены по приближенной формуле

a,=27.3(KWx)tg8. Потери на излучение можно найти из выражения

(1.34)

(1.35)

Если толщина проводников МПЛ значительно превышает глубину проникновения поля в металл, то для приближенной оценки потерь в металле используют соотношение

aSJRsliZ-w). (1.36)

В формулах (1.34) - (1.36) линейные размеры берутся в метрах; tg6 - тангенс угла диэлектрических потерь; Rs и Zo - поверхностное сопротивление металла и волновое сопротивление линии, Ом; постоянные затухания имеют размерность дБ/м.

Если МПЛ экранирована, то потери на излучение отсутствуют. Потери в диэлектрической подложке современных МПЛ с высококачественными диэлектриками также незначительны. Наибольший вклад в общие потери вносят потери в металле. На практике толщина полоскового проводника t может оказаться сравнимой с глубиной проникновения поля в материал проводника, в этом случае формула (1.36) не применима. Кроме того, формула не учитывает частотную зависимость потерь в металле, которая на практике оказывается весьма заметной. Поэтому выведем более общую формулу для потерь в проводниках.

Постоянную затухания в металле определим, исходя из относительных потерь энергии на единицу длины МПЛ:

1 dP

2Р dz

где

[Е, H*]dS

(1.37)

(1.38)

- поток энергии через поперечное сечение МПЛ; Р„ - мощность потерь.

Составляющие магнитного поля в полосковом проводнике представим как суперпозицию неоднородных плоских волн:

Нг{х, у\=А {х) e-J+ С (дг) е' НАх. y) = C(x)e-iy + D(x)6iy, (1.39)

где k=k-]k - постоянная распространения в проводнике, *=* =(0(ХаО/2; А(х), В(х), С(х), D{x) -неизвестные амплитудные коэффициенты.

Будем считать, что составляющие полей на обеих поверхностях полоскового проводника известны и равны Hxi и Нх2. Их можно определить с достаточной точностью нз формул (1.19), решив задачу о собственных волнах МПЛ без потерь с бесконечно тонким проводником. Это допустимо вдали от точки отсечки рассматриваемой волны и при t<w.

Граничные условия на обеих поверхностях полоскового проводника имеют вид:

Нх(х, h) = Нх\(х) на нижней поверхности полоски; (1-40)

Нх (х, h+t) = Hxi {х) на верхней поверхности.

Подставив (1.39) в (1.40) и решив полученную систему уравнений, определим амплитудные коэффициенты:

gl *й

С W = -ТТ-тг \ хх () е'* - {х)\.

D(x) =

2jsin kt е-1 л 2]sin;fe<

[Их-Лх)-Нх ()e-J*l.

(1.41)

Из первого уравнения Максвелла, пренебрегая током смещения, найдем продольную составляющую плотности тока проводимости

-]kC (x) e-J + \kD (x) eJ *Л (1.42)

Аналогично выразим и поперечную составляющую плотности тока проводимости 1\х через составляющие магнитного поля в проводнике Нг и на его

поверхностях Нг\ и Wz2.

Поглощение энергии в элементарном объеме проводника выразится формулой

1 (ч, ч*)

(1.43)

а ее производная по продольной координате z

(о+ш)/2Л+-е

йр - -

Re

их Ay,

(1.44,

(а-и.)/2 й

где П =Пх1х+т]г1г; и и U - единичные векторы вдоль осей х к г.

Подставив в (1.44) выражения (1.42) и (1.41), а также полученные аналогичным способом выражения для т;, А(х) к В(х) и выполнив интегрирование по у, получим уравнение для определения потерь в проводниках:

(а+0))2

(а-0))/2 F2

(jtia -1*2)

(1.45)

где

Fi = sh (2k 0 + sin (2kt); F2 = cos (kt) sh (k t) + ch (* /) sin (kty, Fi = 2k (ch 2k t - cos 2k t) .

На рис. 1.10 приведены графики зависимости постоянной затухания МПЛ Ом на основной волне от толщины полоскового проводника. Как видно из приведенных графиков, потери в проводнике практически не зависят от его толщины в широком диапазоне значений. При t>0,06w постоянная затухания уменьшается, но здесь уже кончается область применения рассмотренной

Яи,дБ/м

Рис. 1.10. Зависимость потерь в полосковом проводнике М.ил от его толщины

0 \ г i If iw/iyio

Рис. 1.11. Частотные зависимости потерь в полосковом проводнике МПЛ

модели вычисления потерь. На частоте ш/Я=4,8-10-з при 0,0065 3A° (А° - толщина скин-слоя) наблюдается минимум затухания.

На рис. 1.11 представлены частотные зависимости постоянной затухания Ом в МПЛ. Они показывают, что с ростом частоты потери в проводниках растут пропорционально К f и слабо зависят от толщины проводника. Когда t<ih, постоянная затухания на низких частотах стремится к постоянной величине.

§ 1.2. Щелевая и копланарная линии

Щелевая линия (ЩЛ) (рис. 1.12) представляет собой узкую щель в проводящем слое, нанесенном на поверхность тонкой диэлектрической подложки. Другая поверхность подложки остается свободной от покрытия.

При использовании ЩЛ энергия излучения должна быть минимальной. Это достигается применением подложек с высоким значением е (е>10), что приводит к значительному уменьшению длины волны Л в линии.

Потери на излучение сводятся к минимуму, а поле концентрируется вблизи щели. Применение экрана исключает потери на излучение.

На рис. 1.12 показано распределение поля в ЩЛ. Электрические силовые линии направлены перпендикулярно щели. Благодаря этому создается возможность удобного и простого при-

соединения параллельно линии внешних сосредоточенных элементов (резисторов, конденсаторов, диодов и др.). В плоскости симметрии линии, проходящей через щель перпендикулярно подложке, магнитные силовые линии образуют замкнутые петли с

Рис. 1.12. Общий вид щелевой линии и структура поля низшей волны

Рис. 1.13. Расчетная модель экранированной ЩЛ (поперечное сечение)

периодом в половину длины волны. Поэтому в ЩЛ имеются области эллиптической поляризации магнитного поля, что можно использовать при создании невзаимных ферритовых устройств. Важной особенностью ЩЛ является также и то, что она используется в комбинации с микрополосковой линией, нанесенной с другой стороны той же подложки, при создании объемных интегральных схем и устройств СВЧ.

При строгом электродинамическом анализе ЩЛ может быть применен тот же подход, что и в случае МПЛ, который описан подробно в предыдущем параграфе. Расчетная модель ЩЛ (рис. 1.13) представляет собой подложку (область 2) со слоем металлизации, ограниченную экраном прямоугольной формы. Наличие электрической стенки в плоскости х= =0 соответствует основному типу волны ЩЛ. Области / и 5 имеют, как правило, воздушное заполнение.

Применяя рассмотренную в § 1.1 методику к модели рис. 1.13, можно получить дисперсионное уравнение экранированной ЩЛ,

ff.rrum

Рис. 1.14. Частотные зависимости коэффициента замедления р (---) и волнового сопротивления Zo (-) экраиироваииой